Una forma diferente de entender vectores y matrices

 Una forma de escribir vectores es verticalmente, de forma que se pueda distinguir su notación de la notación utilizada para los puntos. En vez de escribir un vector $\vec{b}$ de la forma $(x,y,z)$ lo podemos escribir como 

\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}.\]

También podemos entender una matriz como una transformación lineal del espacio, como una función para vectores. Pongamos por ejemplo la siguiente matriz:

$$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$$

Esta matriz nos está diciendo que desplaza a los vectores de forma tal que el vector unitario $\hat{\imath}$ se desplaza a $ \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix}$ y $\hat{\jmath}$ se desplaza a $\begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}$. Así entonces, si tenemos el vector $ \begin{bmatrix}-1 \\5\end{bmatrix}$ y le queremos aplicar la transformación lineal, hacemos lo siguiente:

$$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 \\5\end{bmatrix}= -1\begin{bmatrix}1 \\3\end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix}2 \\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 \\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}10 \\20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9 \\17\end{bmatrix}$$

Básicamente lo que hicimos fue analizar qué le ocurría a cada componente del vector $\begin{bmatrix}-1 \\5\end{bmatrix}$ con la transformación lineal (la matriz) que vimos antes. 

Ahora podría surgir la pregunta de qué es lo que ocurre cuando se multiplican dos matrices. La multiplicación entre matrices puede ser pensada como aplicar una transformación lineal a otra transformación lineal. Tomemos el siguiente ejemplo:

$$ \underbrace{\begin{bmatrix}0 & -2\\5 & 1\end{bmatrix}}_A\underbrace{\begin{bmatrix}0 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix}}_B $$

Acá lo que se nos está diciendo es que a la transformación lineal $B$ se le está aplicando la transformación lineal $A$. Sabemos que el vector $\hat{\imath}$ primero será transformado en $\begin{bmatrix}0 \\3 \end{bmatrix}$ así que a eso le aplicamos la siguiente transformación lineal:

$$\begin{bmatrix}0 & -2\\5 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\3 \end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}0 \\5\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}-2 \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6 \\3\end{bmatrix}$$

Ahora hacemos lo mismo con $\hat{\jmath}$:

$$\begin{bmatrix}0 & -2\\5 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\4\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}0 \\5\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-2 \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8 \\9\end{bmatrix}$$

Ahora que sabemos hacia dónde se trasladaron $\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$ sabemos que al aplicar una de las transformaciones lineales a la otra obtenemos la siguiente matriz (una transformación lineal que sintetiza las matrices aplicadas una después de la otra):

$$\begin{bmatrix}-6 & -8 \\3 & 9\end{bmatrix}$$